Avete presente quando un calcolo FEM non coincide nelle deformazioni con quanto previsto dalla prova in laboratorio di un modello in scala?
Bene, se vi è capitato almeno una volta, sappiate che l’errore non dipende da un impostazione sbagliata del calcolo, ma da una scelta sbagliata del tipologia di elemento.
Questo fenomeno prende il nome di Shear-Locking e si verifica SEMPRE quando si utilizzano elementi di tipo lineare.
Ma cos'è di preciso?
Per la loro stessa tipologia (o meglio per l'utilizzo di una funzione di forma lineare), gli elementi lineari non sono in grado di rappresentare in maniera accurata la curvatura di un modello soggetto ad un carico di flessione e questo porta all'introduzione di uno sforzo di taglio fittizio.
Questo valore di taglio fittizio e aggiuntivo, permette il raggiungimento dell'equilibrio meccanico per un valore degli spostamenti inferiori a quelli previsti nella realtà, facendo sì che lo spostamento finale risulti inferiore a quanto sarebbe realmente.
In pratica si ha come un'aggiunta di una rigidezza meccanica fittizia che nella realtà non esiste.
Pertanto, il solo utilizzare degli elementi lineari, magari per risparmiare memoria, porta con se un errore numerico.
Facciamo un esempio con una semplice trave a sezione quadrata.
Consideriamo pertanto una trave solida di dimensioni 200mmx200mmx2000mm (fig. 1):
Figura 1: Geometria della Trave
Dal punto di vista analitico, la soluzione è dalla dall'equazione:
dove i simboli hanno il significato comunemente utilizzato.
Se si considera come materiale un acciaio con E=200000 MPa e ricordiamo che per una sezione quadrata l'inerzia flessionale è pari a:
con l lato del quadrato, si ottiene, applicando una forza F=1000 N:
Conoscendo ora il valore previsto analiticamente possiamo effettuare un confronto con il modello agli elementi finiti.
Per tale confronto sono utilizzate due diverse mesh tetra, la prima con elementi lineari mentre la seconda con elementi quadratici. Per entrambi i modelli manteniamo la stessa dimensione di elemento, ossia 50 mm.
Otteniamo le seguenti deformazioni (fig. 2 e fig.3)
Figura 2: Deformata trave con elementi quadratici dimensione 50 mm
Figura 3: Deformata trave con elementi quadratici dimensione 50 mm
L'utilizzo di elementi lineari al posto di quelli quadratici, a parità di dimensione di mesh, porta con se un valore di rigidezza aggiuntivo.
Se riportiamo i valori in tabella 1 notiamo che l’utilizzo di elementi lineari porta ad un errore della deformata pari a circa il 20%, con una evidente sottostima della deformata.
Tabella 1: Confronto dei valori Mesh Lineare 50 mm e Mesh quadratica 50 mm
Come evitare lo Shear Locking?
Per poter evitare questo fenomeno, il metodo più conveniente e immediato è quello di utilizzare elementi almeno quadratici e di cercare di inserire, quando possibile, almeno 3 elementi all'interno di uno spessore.
Nel caso invece non sia possibile utilizzare (ad esempio geometria complessa o poche risorse di calcolo) tale comportamento può essere mitigato utilizzando una dimensione di elementi lineari almeno pari alla metà di quella degli elementi parabolici il che si traduce in un numero doppio di elementi).
Se effettuiamo un analisi con elementi pari a 25 mm ma lineari, otteniamo il risultato espresso in figura 4.
Riportando i valori in tabella 2 e confrontandoli con quelli analitici, vediamo che l'errore è sceso a circa i 4%, che è un valore volendo trascurabile
Ma come possiamo stabilire il valore corretto di dimensione elemento?
In questo caso ci viene in aiuto l'analisi di convergenza, che sarà affrontato nelle prossime #PilloleDiFEM
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