Nello scorso articolo abbiamo iniziato a parlare del calcolo a fatica tramite la procedura FEM.
Abbiamo visto come l'analisi a fatica altro non è che un processo di post-processing, in cui preso il campo di stress dello sforzo alternato, andiamo a vedere dove si ha il picco massimo e tramite la curva di Wohler, calcoliamo il numero di cicli a rottura per quel determinato ciclo.
Per rinfrescarti la memoria ti suggerisco di riguardare il mio vecchio articolo.
Ma in tutto questo discorso, come influisce il valore del sigma medio?
Sperimentalmente si è notato come il valore di sforzo finale corrispondente ad un determinato numero di cicli diminuisce al crescere di uno sforzo medio positivo.
Per poter risolvere questo problema, sarebbe necessario effettuare avere a disposizione le curve di Wohler per diversi valori di sforzo medio.
Fissato il numero di cicli e conducendo diverse prove sperimentali, si ottiene un grafico tipo questo
Figura 1: Influenza dello sforzo medio sulla vita a fatica dal punto di vista sperimentale
Il grafico qui ottenuto rappresenta in ascissa il valore del carico statico (sforzo medio) e in ordinata il valore del carico dinamico (sforzo alternato).
Possiamo ottenere le seguenti informazioni:
Se il carico medio è nullo, il valore massimo della curva corrisponde al valore di sforzo alternato che si ottiene tramite la curva di Wohler;
Se il carico alternato è nullo, il numero di cicli a sui si rompe il componente non ha senso e il componente si danneggia per rottura statica (superamento del valore si stress di rottura).
Proprio su questa ultima ipotesi sono ipotizzati diversi approcci, ognuno dipendente dalla tipologia di carico ultimo considerato.
Quanto appena descritto può essere schematizzato nella seguente immagine:
Figura 2: Valori di riferimento sul piano sforzo medio - sforzo alternato
Da un punto di vista di 3 assi, se il terzo asse sono il numero di cicli, possiamo ipotizzare che la resistenza a fatica non sia più definita su una linea ma su una superficie.
Figura 3: Superficie di resistenza a fatica.
Si deve tenere presente che il carico statico tende ad abbassare il numero di cicli a cui si deve progettare.
Infatti, se si considera che le curve di Wohler sono ottenute per carico statico nullo e che la rottura avviene solamente per carico alternato, nel momento in cui si considera un carico statico diverso da zero, questo tendere a favori l'apertura della cricca.
Proprio per questo motivo il numero di cicli reale sarà molto più basso ed anche il relativo valore di sforzo alternato.
I diagrammi di Sodemberg - Goodman - Gerber
Avendo visto che a parità di numero di clicli e di carico alternato, lo sforzo medio può influenzare la resistenza del nostro componente, vediamo quali sono gli approcci che sono stati "inventati" negli anni.
Soderberg
Il primo che andiamo a citare è il diragramma di Soderberg. Tale diagramma prende come riferimento per il calcolo dello sforzo massimo, lo sforzo a snervamento del materiale.
Figura 4: Diagramma di Soderberg
Da un punto di vista formulistico, si può scrivere la seguente relazione di verifica. La relazione è di tipo lineare.
Si può notare come questo approccio sia molto conservativo.
Goodman
Il secondo approccio che andiamo ad analizzare è il diagramma di Goodman. A differenza di Sodemberg, tale diagramma prende come riferimento per il calcolo dello sforzo massimo lo sforzo a rottura del materiale.
Figura 5: Diagramma di Goodman
Da un punto di vista formulistico, si può scrivere la seguente relazione di verifica. La relazione è di tipo lineare.
Gerber
Il terzo approccio che andiamo ad analizzare è il diagramma di Gerber. A differenza di Sodemberg, tale diagramma prende come riferimento per il calcolo dello sforzo massimo lo sforzo a rottura del materiale ed utilizza un approccio parabolico.
Figura 6: Diagramma di Gerber
Da un punto di vista formulistico, si può scrivere la seguente relazione di verifica. La relazione è di tipo no lineare.
Analisi dei diversi modelli descritti
Confrontando i diversi diagrammi, possiamo tracciare il seguente grafico complessivo:
Figura 7: Zona di sicurezza del diagramma Sm/Sa
Mentre la parte di tensione presenta diversi comportamenti, è intuitivo pensare che l'azione statica compressiva non comporta problemi per la fatica (tende a chiudere la cricca).
Utilizzo dei diagrammi
Vediamo adesso come si utilizzano i diagrammi del valore medio.
Possiamo fin da subito comprendere come la zona gialla (e l'eventuale zona blu) siano delle regioni di progettazione in sicurezza.
Significa che se la nostra combinazione di stress alternato e stress medio si trovano all'interno di questa zona, significa che siamo sicuri che la nostra struttura non subisca danni derivanti dalla fatica per quel particolare valore di cicli.
Poiché abbiamo due parametri che possono variare, possiamo considerare diverse combinazione con cui variano i diversi carichi:
Sforzo medio e alternato aumentano in maniera proporzionale;
Aumento / diminuzione del carico medio;
Aumento / diminuzione del carico alternato;
In questo breve articolo sarà trattato solamente il caso in cui i due carichi aumentano in maniera proporzionale.
Consideriamo quindi i seguenti punti:
P di coordinate (Smp,Sap). questo punto corrisponde alla condizione massima sopportabile dal componente per quel particolare valore di cicli. Questa coppia è ignota, nel senso che per poter calcolare il coefficiente di sicurezza dobbiamo essere in grado di calcolare questo parametri.
P' di coordinare (Smp',Sap'). Questo punto corrisponde al carico a cui è sottoposto il nostro componente.
Figura 7: Rappresentazione del coefficiente di sicurezza
Da un punto di vista matematico, il coefficiente di sicurezza è espresso dal rapporto
Per essere in sicurezza n deve essere minore di 1
Il punto O' varia a seconda della condizione che consideriamo. Nel nostro caso coincide con l'origine.
Per trovare i valori di P è necessario risolvere l'intersezione delle due rette (quella passante per Sf-Su e quella passante per P-P'.
Ma perchè qui i valori di estremo sono indicati con Su/Sf?
Come abbiamo detto in precedenza, il caso per cui abbiamo solamente lo sforzo statico coincide con la pura analisi statica del componente.
In questo caso vale la seguente relazione:
dove con K intendiamo il coefficiente di sicurezza della parte statica (in ambiente aeronautico ad esempio questo coefficiente vale 1.5).
Il valore di Sf invece è dato da:
dove i termini B e C sono gli stessi indicati nel precedente articolo (relativi alla dimensione e finitura superficiale).
E nel FEM?
Beh, da un punto di vista di FEM, l'approccio è lo stesso che abbiamo visto la scorsa volta. Calcolato il campo di stress dovuto allo sforzo alternato e quello dovuto allo sforzo medio, selezioniamo il nodo critico che ha il valore di sforzo alternato più elevato.
Una volta selezionato quel nodo, vediamo a quanto coincide il valore di sforzo medio in quel particolare nodo.
Ottenuti i due valori (che corrispondono ai valori del punto P'), entriamo prima nel diagramma di Wohler per determinare il valore di Sn rispetto ad un particolare numero di cicli definito a priori.
Figura 8: Calcolo del Sn rispetto al numero di cicli e rispetto al carico alternato.
Determinato il valore di Sn rispetto al numero ci cicli Np si entra nel diagramma di Goodman / Soderberg / Gerber conoscendo il valore di Su calcolato come sopra e si calcola il fattore di sicurezza rispetto al punto su tale grafico.
Figura 9: Calcolo di n conoscendo Sm/Sa e Sf/Su.
Abbiamo visto quindi come il valore di sforzo medio mi abbassa la resistenza a fatica del mio componente.
Fino a questo momento però abbiamo ipotizzato sempre e solo un carico monocromatico, ossia ad una sola frequenza.
Cosa succede invece quando siamo in presenza di carichi polocromatici? Come faccio a calcolare il contributo di ogni carico? Quale è più importante?
Questo argomento sarà oggetto di un altro capitolo delle nostre #pilloledifem
Ing. Francesco Grispo
N.B: Questo articolo non vuole in alcun modo essere un corso su calcolo a fatica ma ha il solo scopo di informare e di far comprendere la mentalità con cui approcciarsi al calcolo. Si consiglia sempre di affidarsi a corsi ufficiali o corsi universitari per apprendere al meglio tali metodologie di calcolo.
Non utilizzate quanto riportato in questo articolo per i vostri dimensionamenti.
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