Nel mondo della progettazione meccanica ci si trova spesso a trattare simulazioni fluidodinamiche, per determinare le forze che agiscono sul corpo oppure per ottimizzarne la forma. Sappiamo che la fluidodinamica, salvo in detemrinati casi, non ammette forma chiusa per le sue soluzioni. I principali motivi sono:
Equazioni non lineari: Le equazioni fondamentali che descrivono il movimento dei fluidi, come le equazioni di Navier-Stokes, sono equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari. Queste equazioni contengono termini non lineari che rendono difficile trovare una soluzione analitica.
Complessità della geometria: La fluidodinamica può riguardare il flusso di fluidi attraverso geometrie complesse, come condotti tortuosi o corpi con forme irregolari. La presenza di queste geometrie complicate complica ulteriormente l'ottenimento di una soluzione chiusa.
Condizioni al contorno complesse: Le condizioni al contorno specificano il comportamento del fluido sulla superficie dei corpi o in punti specifici di un sistema. In molti casi, le condizioni al contorno possono essere complesse e difficili da rappresentare analiticamente, rendendo ancora più difficile ottenere una soluzione chiusa.
Fenomeni turbolenti: La turbolenza è un fenomeno complesso che si verifica in molti flussi fluidi ad alta velocità o con forti gradienti di velocità. La descrizione matematica dei flussi turbolenti richiede modelli approssimati e simulazioni numeriche, poiché non esistono soluzioni analitiche generali per i flussi turbolenti.
A causa di questi fattori, spesso è necessario l'uso di metodi numerici per poter determinare la soluzione.
Ma quali sono questi algoritmi dell'analisi CFD? Su cosa si basano?
I DIVERSI APPROCCI
Nell'analisi CFD, ci sono due approcci principali utilizzati per la risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes: il metodo basato sulla pressione (pressure-based) e il metodo basato sulla densità (density-based). Entriamo più nel dettaglio:
Metodo pressure-based: Questo metodo è ampiamente utilizzato per risolvere flussi incompressibili o leggermente compressibili. Una delle caratteristiche principali di questo metodo è l'uso dell'equazione di Poisson per la pressione, che viene ottenuta riscrivendo l'equazione di continuità in forma adimensionale. Questo approccio semplifica il calcolo della pressione e migliora la stabilità numerica. Il metodo pressure-based include solitamente il metodo delle differenze finite o dei volumi finiti per discretizzare le equazioni di conservazione della massa e del momento su una griglia. Nel metodo pressure-based, l'equazione dell'energia termica viene spesso risolta separatamente utilizzando un modello di trasporto del calore, come l'equazione di conduzione del calore o il modello delle turbolenze. Questo approccio semplifica la risoluzione numerica, poichè l'energia termica non è direttamente accoppiata alle equazioni di conservazione della massa e del momento. Tuttavia, può comportare una minore accuratezza nei casi in cui la termofluidodinamica sia fortemente interconnessa.
Metodo density-based Il metodo density-based è necessario per analizzare flussi compressibili ad alta velocità, dove le variazioni di densità sono significative. Questo approccio considera la densità come variabile principale insieme al vettore velocità e risolve simultaneamente le equazioni di conservazione della massa, del momento e dell'energia. L'equazione dell'energia è generalmente accoppiata all'equazione di conservazione del momento attraverso l'introduzione della temperatura come variabile aggiuntiva. Il metodo density-based è particolarmente utile nella modellazione di flussi ad alta velocità, come ad esempio nella dinamica dei gas e nell'aerodinamica supersonica. Poiché le fluttuazioni di densità sono significative, è necessario considerare l'effetto delle variazioni di densità sul campo di velocità. Questo richiede un'attenzione particolare nella scelta dei modelli di turbolenza e nella gestione delle discontinuità, come gli urti o le onde d'urto.
GLI ALGORITMI DENTRO I METODI
I metodi sono delle modalità, degli approcci con cui si imposta il problema. Dal punto di vista pratico è necessario utilizzare degli algoritmi risolutivi.
Vediamo quali sono i diversi algoritmi per i diversi metodi:
Algoritmi per i pressure-based:
Algoritmo PI (Pressure-Implicit ): Questo algoritmo divide le equazioni di conservazione del momento e della pressione in due fasi. Nella prima fase, le equazioni di conservazione del momento vengono risolte in modo esplicito, ignorando il termine di pressione. Successivamente, nella fase di correzione di pressione, viene risolta l'equazione di Poisson per la pressione, che collega la velocità alla pressione. Questo approccio è computazionalmente efficiente e viene spesso utilizzato per flussi incompressibili.
Algoritmo PISO (Pressure-Implicit with Splitting of Operators): Questo algoritmo è una variante del metodo PI e viene utilizzato per risolvere le equazioni di conservazione della massa e del momento in modo iterativo. Inizialmente, viene risolta l'equazione del momento utilizzando una soluzione approssimata per la pressione. Quindi, viene corretta la pressione iterativamente per soddisfare l'equazione di continuità e le equazioni del momento. Questo metodo è particolarmente efficace per flussi transitori e può gestire meglio i problemi di instabilità numerica rispetto al metodo PI
Algoritmo SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations): L'algoritmo SIMPLE è un metodo per risolvere problemi di flusso di fluidi incomprimibili. Si basa sulla pressione come variabile principale e prevede la discretizzazione del dominio, l'assegnazione di valori iniziali, la previsione delle velocità, la correzione della pressione, l'aggiornamento delle velocità e della pressione, la verifica della convergenza e l'iterazione fino alla convergenza. È ampiamente utilizzato in settori come l'aerodinamica e l'ingegneria degli impianti.
Algoritmi per i density based:
Algoritmo AUSM (Advection Upstream Splitting Method): Questo algoritmo è comunemente utilizzato per risolvere le equazioni di conservazione per flussi compressibili. Si basa su uno schema upwind per gestire in modo accurato le onde d'urto e le discontinuità nel flusso. Il metodo AUSM è noto per la sua capacità di modellare flussi supersonici e ipersonici in modo stabile ed efficiente.
Algoritmo Roe (Riemann Solver with Harten-Lax-van Leer-Contact Discontinuity): Questo algoritmo è un metodo numerico basato su uno schema upwind che si basa sulla decomposizione di Roe delle variabili primitive del flusso. Il metodo Roe è noto per la sua capacità di catturare le onde d'urto e le discontinuità nel flusso. È ampiamente utilizzato per risolvere equazioni di conservazione compressibili, come le equazioni di Eulero.
CONCLUSIONI
Sia i metodi pressure-based che il metodo density-based hanno vantaggi e limitazioni. La scelta tra i due dipende dalle caratteristiche del flusso, dalle condizioni di bordo e dagli obiettivi dell'analisi CFD. È importante considerare anche l'efficienza computazionale, poiché il metodo density-based può richiedere maggiori risorse computazionali rispetto al metodo pressure-based.
Inoltre, vale la pena notare che ci sono anche approcci misti che combinano elementi dei due metodi, cercando di sfruttare i vantaggi di entrambi. Questi approcci ibridi possono essere utilizzati per risolvere flussi che presentano sia caratteristiche di compressibilità che di incompressibilità in diverse parti del dominio.
In definitiva, la scelta del metodo dipende dalla natura del flusso da analizzare, dalle condizioni di simulazione e dagli obiettivi dell'analisi CFD.
Ing. Francesco Grispo
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