In un progetto, lo snervamento non è il solo caso possibile di rottura. E’ importante tenere conto anche della possibilità di collasso o di instabilità di buckling.
Per comprendere al meglio questo fenomeno, prendiamo in esame un’azione che tutti noi abbiamo fatto almeno una volta. Consideriamo uno stuzzicadenti tenuto tra pollice e indice. Quando iniziamo a premere, lo stuzzicadenti si incurva fino a rompersi in mezzeria.
Ma come mai a fronte di un carico puramente compressivo, avviene una rottura che possiamo ricondurre a flessione?
Figura 1: Instabilità di punta. Notiamo come la trave esca fuori dal piano di riferimento.
A differenza di quanto esposto dalla teoria, dove tutto è perfetto, nella realtà esistono le imperfezioni. Tali imperfezioni possono essere dovute al materiale (potrebbe essere che una parte è leggermente più densa o più rigida di un'altra) oppure dovute al modo con cui si applica il carico, che nella realtà presenterà sempre una piccola eccentricità rispetto al centro della sezione.
A fronte di questi difetti, da quello che doveva essere un profilo di stress a compressione, si ottiene un profilo di stress tipico della flessione (ossia asimmetrico), che porta l’oggetto a muoversi fuori dal piano di riferimento, rendendo critica una situazione di carico che in realtà non lo era.
Ma come simulare il buckling tramite il FEM?
Per simulare questo comportamento si utilizzano due strade:
1) Approccio semplificato tramite una procedura che prende il nome di LBA (Linear Buckling Analysis, ndr.);
2) Approccio non lineare in cui ad ogni iterazione aggiorno utilizzo la configurazione deformata dell’iterazione precedente per calcolare la nuova matrice di rigidezza.
In questo articolo prendiamo in esame solamente la tecnica LBA, vedendo quali sono le possibilità di applicazione ed i suoi limiti, lasciando il discorso non lineare ad un altro articolo (dopo tutto sono pillole di fem, non lezioni universitarie).
La tecnica LBA prende in considerazione ha due scopi principali:
1) Calcolare il fattore moltiplicativo del carico per vedere quanto siamo distanti dal carico critico;
2) Indicare la deformata dovuta al carico critico.
Dal punto di vista teorico, queste grandezze prendono il nome rispettivamente di fattore di sicurezza e modo proprio di buckling.
Facendo un analogia con l’analisi modale, notiamo che la tipologia di grandezze che si ottengono sono sempre un fattore scalare ed un vettore di spostamenti. Questo è possibile perché dal punto di vista matematico, il problema di buckling lineare è simile al problema di analisi modale (attenzione, ho detto simile, non uguale, mi riferisco agli ingegneri con più esperienza).
La differenza in questo caso sta nell’utilizzo delle matrici. Mentre nel calcolo modale le matrici utilizzate sono la matrice di massa e la matrice di rigidezza, in questo problema si utilizza sempre la matrice di rigidezza (alla fine è sempre un problema collegato con la rigidezza) ma l’altra matrice che si utilizza è una matrice particolare, che viene chiamata matrice di rigidezza geometrica, e che è funzione del campo di stress a cui è sottoposto il materiale.
La formulazione pertanto assume la seguente forma:
Dove:
K è la matrice di rigidezza
S è la matrice di rigidezza geometrica dipendente dagli sforzi.
λ è il fattore di buckling
φ è la deformata modale
Così come l’analisi modale fornisce risultati a diversi valori di frequenza, così l’analisi LBA fornisce diversi valori di carico di buckling, ma bisogna analizzarli con attenzione. Ecco alcuni aspetti da tenere a mente:
Il valore di "frequenza" di buckling a cui si fa maggiormente riferimento sarà infatti solamente il primo, in quanto i valori successivi indicano un carico per cui già avvenuto il collasso della struttura. Gli altri modo possono essere usati in maniera indicativa per controllare alcune zone da irrigidire della struttura.
Se si dovesse ottenere un valore negativo, significa che il carico sarà critico se orientato in maniera opposta. La ricerca perciò dovrà sempre essere rivolta, in prima battuta, ai soli valori positivi (la possibilità di poter ottenere valori positivi deriva dal fatto che il termine proporzionale dell’equazione non è al quadrato come nel caso dell’analisi modale).
I valori ottenuti tendono a essere sovrastimati rispetto al valore reale, il che permette di essere in sicurezza ma potrebbe portare ad un sovradimensionamento non necessario della struttura.
Guardando la deformata di buckling, essa sarà solamente qualitativa, non riuscendo a cogliere il vero verso in cui avverrà e non sarà in grado di dirci come si comporterà al struttura dopo il collasso.
Per fissare meglio quanto detto, facciamo un esempio pratica.
Consideriamo la struttura in questione rappresentato da un cilindro in parete sottile caricato da un’estremità e vincolata nell’altra.
Figura 2: Geometria analizzata. La geometria è puramente qualitativa. L'unica nota da notare è il rapporto tra diametro e lunghezza (in questo caso circa 5)
Essendo pari ad un’analisi modale, si devono utilizzare almeno 5 nodi per riuscire a cogliere in pieno la lunghezza della semi-onda che si viene a creare (fortunatamente con le potenze di calcolo di oggi, questo non è più un limite potendo utilizzare delle mesh molto fitte, almeno per i primi modi).
Guardando la soluzione, vediamo che in questo caso si possono distinguere due modi di collasso (figura 3 e figura 4):
1) Il primo relativo al contorno (collasso locale)
2) Il secondo relativo alla lunghezza della trave.
Se avessimo utilizzato una formulazione analitica, non saremmo stati in grado di recepire la prima modalità di failure (non si riporta la formulazione analitica di buckling per una trave caricata).
Figura 3: Modo di buckling globale di tipo flessionale. Vediamo i pivot point al vincolo e nella parte superiore (rappresentati da una zona di colore blu scuro).
Figura 4: Modo di buckling locale.
Analizzando i valori del carico critico, riportati in tabella 1, notiamo come essi siano uguali a coppie di due. Questo è dovuto al limite di non riuscire a predire il comportamento reale di collasso, portando a delle soluzioni che possono essere una un movimento rigido dell’altra e per cui la differenza di valore di carico critico è pari ad un valore che si può ricondurre alla tolleranza numerica.
Tabella 1: Valori del rapporto di buckling.
Una piccola osservazione. Il "rapporto di buckling" può avere due significati diversi a seconda di come viene impostato il calcolo.
Nel caso di forza unitaria il valore di BucklingRatio è pari proprio al valore di carico che è necessario per portare la struttura in instabilità.
Se la forza considerata per il calcolo è diversa da unità, si avrà che tale rapporto coinciderà con il coefficiente di sicurezza
Come posso migliorare i risultati?
Dobbiamo tenere a mente che la LBA è utile per effettuare un dimensionamento preliminare della struttura (che poi molto spesso rimane quello definitivo) ma che come abbiamo visto presenta dei limiti quando voglia avere più informazioni.
Per poter migliorare i risultati e predire al meglio il comportamento della struttura, è necessario effettuare un’analisi non lineare dove, passo dopo passo, calcoliamo la deformazione della struttura fino ad arrivare alla configurazione deformata finale.
Ma come si può simulare dal punto di vista FEM? Tale argomento sarà oggetto di studio delle prossime #pilloledifem.
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